泰勒展开是一种将函数在某一点的邻域内展开成无穷级数的方法。对于函数 f(x),其泰勒展开可以在任何它可导的点 a 进行,形式如下:
f(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+fracf′′(a)2!(x−a)2+fracf′′′(a)3!(x−a)3+ldots+fracf(n)(a)n!(x−a)n+ldots
这里的 f(n)(a) 是函数 f(x) 在点 a 的第 n 阶导数,n! 是 n 的阶乘。
当这个展开点 a=0 时,泰勒展开就特化为麦克劳林展开。也就是说,麦克劳林展开是泰勒展开的一个特例,其中所有的项都是在 x=0 处计算的。因此,麦克劳林展开的形式如下:
f(x)=f(0)+f′(0)x+fracf′′(0)2!x2+fracf′′′(0)3!x3+ldots+fracf(n)(0)n!xn+ldots
在数学、物理和工程等领域,麦克劳林展开常用于近似计算,因为在 x=0 附近,函数值可以用其展开式的有限项来近似。这个展开特别有用,因为它简化了很多数学表达式,并且可以帮助我们理解函数在 x=0 附近的行为。
常见的展开式
幂函数
(x)n=sum_k=0inftyfracxkk!=1+x+fracx22!+fracx33!+cdots
指数函数
ex=sum_k=0inftyfracxkk!=1+x+fracx22!+fracx33!+cdots
对数函数
log_a(x)=sum_k=1inftyfrac(−1)k−1kcdotfracxkak=fracxa−fracx22a2+fracx33a3−cdots
正弦函数
sin(x)=sum_k=0inftyfrac(−1)k(2k+1)!cdotx2k+1=x−fracx33!+fracx55!−fracx77!+cdots
余弦函数
cos(x)=sum_k=0inftyfrac(−1)k(2k)!cdotx2k=1−fracx22!+fracx44!−fracx66!+cdots
正切函数
tan(x)=sum_k=1inftyfrac(−1)k−1(2k−1)!cdotx2k−1=x+fracx33!+frac2x55!+frac17x77!+cdots
对于函数 f(x)=frac11+x,其麦克劳林展开式是:
frac11+x=1−x+x2−x3+x4−ldots=sum_n=0infty(−1)nxn
这个展开是在 ∣x∣<1 的范围内有效。
对于函数 f(x)=frac11−x,其麦克劳林展开式是:
frac11−x=1+x+x2+x3+x4+ldots=sum_n=0inftyxn
这个展开也是在 ∣x∣<1 的范围内有效。
对于自然对数函数 f(x)=ln(1+x),其麦克劳林展开式是:
ln(1+x)=x−fracx22+fracx33−fracx44+ldots=sum_n=1infty(−1)n−1fracxnn
这个展开是在 −1<xleq1 的范围内有效(注意当 x=−1 时,ln(1+x) 未定义,因此不包括该点)。