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泰勒展开是一种将函数在某一点的邻域内展开成无穷级数的方法。对于函数 f(x)f(x),其泰勒展开可以在任何它可导的点 aa 进行,形式如下:

f(x)=f(a)+f(a)(xa)+fracf(a)2!(xa)2+fracf(a)3!(xa)3+ldots+fracf(n)(a)n!(xa)n+ldotsf(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \\ldots + \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \\ldots

这里的 f(n)(a)f^{(n)}(a) 是函数 f(x)f(x) 在点 aa 的第 nn 阶导数,n!n!nn 的阶乘。

当这个展开点 a=0a=0 时,泰勒展开就特化为麦克劳林展开。也就是说,麦克劳林展开是泰勒展开的一个特例,其中所有的项都是在 x=0x=0 处计算的。因此,麦克劳林展开的形式如下:

f(x)=f(0)+f(0)x+fracf(0)2!x2+fracf(0)3!x3+ldots+fracf(n)(0)n!xn+ldotsf(x) = f(0) + f'(0)x + \\frac{f''(0)}{2!}x^2 + \\frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \\ldots + \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \\ldots

在数学、物理和工程等领域,麦克劳林展开常用于近似计算,因为在 x=0x=0 附近,函数值可以用其展开式的有限项来近似。这个展开特别有用,因为它简化了很多数学表达式,并且可以帮助我们理解函数在 x=0x=0 附近的行为。

常见的展开式

  1. 幂函数

    (x)n=sum_k=0inftyfracxkk!=1+x+fracx22!+fracx33!+cdots(x)^n = \\sum\_{k=0}^{\\infty} \\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\cdots

  2. 指数函数

    ex=sum_k=0inftyfracxkk!=1+x+fracx22!+fracx33!+cdotse^x = \\sum\_{k=0}^{\\infty} \\frac{x^k}{k!} = 1 + x + \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^3}{3!} + \\cdots

  3. 对数函数

    log_a(x)=sum_k=1inftyfrac(1)k1kcdotfracxkak=fracxafracx22a2+fracx33a3cdots\\log\_a(x) = \\sum\_{k=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k-1}}{k} \\cdot \\frac{x^k}{a^k} = \\frac{x}{a} - \\frac{x^2}{2a^2} + \\frac{x^3}{3a^3} - \\cdots

  4. 正弦函数

    sin(x)=sum_k=0inftyfrac(1)k(2k+1)!cdotx2k+1=xfracx33!+fracx55!fracx77!+cdots\\sin(x) = \\sum\_{k=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \\cdot x^{2k+1} = x - \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} - \\frac{x^7}{7!} + \\cdots

  5. 余弦函数

    cos(x)=sum_k=0inftyfrac(1)k(2k)!cdotx2k=1fracx22!+fracx44!fracx66!+cdots\\cos(x) = \\sum\_{k=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^k}{(2k)!} \\cdot x^{2k} = 1 - \\frac{x^2}{2!} + \\frac{x^4}{4!} - \\frac{x^6}{6!} + \\cdots

  6. 正切函数

    tan(x)=sum_k=1inftyfrac(1)k1(2k1)!cdotx2k1=x+fracx33!+frac2x55!+frac17x77!+cdots\\tan(x) = \\sum\_{k=1}^{\\infty} \\frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!} \\cdot x^{2k-1} = x + \\frac{x^3}{3!} + \\frac{2x^5}{5!} + \\frac{17x^7}{7!} + \\cdots

对于函数 f(x)=frac11+xf(x) = \\frac{1}{1+x},其麦克劳林展开式是:

frac11+x=1x+x2x3+x4ldots=sum_n=0infty(1)nxn\\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \\ldots = \\sum\_{n=0}^{\\infty} (-1)^n x^n

这个展开是在 x<1|x| < 1 的范围内有效。

对于函数 f(x)=frac11xf(x) = \\frac{1}{1-x},其麦克劳林展开式是:

frac11x=1+x+x2+x3+x4+ldots=sum_n=0inftyxn\\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \\ldots = \\sum\_{n=0}^{\\infty} x^n

这个展开也是在 x<1|x| < 1 的范围内有效。

对于自然对数函数 f(x)=ln(1+x)f(x) = \\ln(1+x),其麦克劳林展开式是:

ln(1+x)=xfracx22+fracx33fracx44+ldots=sum_n=1infty(1)n1fracxnn\\ln(1+x) = x - \\frac{x^2}{2} + \\frac{x^3}{3} - \\frac{x^4}{4} + \\ldots = \\sum\_{n=1}^{\\infty} (-1)^{n-1} \\frac{x^n}{n}

这个展开是在 1<xleq1-1 < x \\leq 1 的范围内有效(注意当 x=1x = -1 时,ln(1+x)\\ln(1+x) 未定义,因此不包括该点)。

麦克劳林展开式
https://blog.en.icu/blog/2024-02-13-麦克劳林展开式
Author Xingluo
Published at February 13, 2024
Copyright CC BY-NC-SA 4.0
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