泰勒展开是一种将函数在某一点的邻域内展开成无穷级数的方法。对于函数 $f(x)$，其泰勒展开可以在任何它可导的点 $a$ 进行，形式如下：

$f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n + \ldots$

这里的 $f^{(n)}(a)$ 是函数 $f(x)$ 在点 $a$ 的第 $n$ 阶导数，$n!$ 是 $n$ 的阶乘。

当这个展开点 $a=0$ 时，泰勒展开就特化为麦克劳林展开。也就是说，麦克劳林展开是泰勒展开的一个特例，其中所有的项都是在 $x=0$ 处计算的。因此，麦克劳林展开的形式如下：

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \ldots$

在数学、物理和工程等领域，麦克劳林展开常用于近似计算，因为在 $x=0$ 附近，函数值可以用其展开式的有限项来近似。这个展开特别有用，因为它简化了很多数学表达式，并且可以帮助我们理解函数在 $x=0$ 附近的行为。

常见的展开式

  1. 幂函数

    $(x)^n = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

  2. 指数函数

    $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

  3. 对数函数

    $\log_a(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k} \cdot \frac{x^k}{a^k} = \frac{x}{a} - \frac{x^2}{2a^2} + \frac{x^3}{3a^3} - \cdots$

  4. 正弦函数

    $\sin(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!} \cdot x^{2k+1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$

  5. 余弦函数

    $\cos(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k)!} \cdot x^{2k} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$

  6. 正切函数

    $\tan(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!} \cdot x^{2k-1} = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{2x^5}{5!} + \frac{17x^7}{7!} + \cdots$

对于函数 $f(x) = \frac{1}{1+x}$，其麦克劳林展开式是：

$\frac{1}{1+x} = 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^n$

这个展开是在 $|x| < 1$ 的范围内有效。

对于函数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$，其麦克劳林展开式是：

$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} x^n$

这个展开也是在 $|x| < 1$ 的范围内有效。

对于自然对数函数 $f(x) = \ln(1+x)$，其麦克劳林展开式是：

$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \ldots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n}$

这个展开是在 $-1 < x \leq 1$ 的范围内有效（注意当 $x = -1$ 时，$\ln(1+x)$ 未定义，因此不包括该点）。